비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 알맞은 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 판정할 수 없다고 밝히세요.

${a}_{k}={\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{3k}\right)}^{k}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{k}={\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{3k}\right)}^{k}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}^{1/k}\to \ln (3)>1$ 이다. 근판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}^{1/k}\to \ln (3)>1.$ Diverges by root test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 59번우리말 번역

${a}_{n}={2}^{-[n/2]}$ 이라고 하자. 여기서 $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대 정수이다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하고, 그 답의 근거를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n}$ 이다. $n$ 이 짝수이면 ${a}_{n+1}/{a}_{n}=1$ 이므로 비판정법은 적용할 수 없다. 그러나 ${a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2$ 이므로 앞의 연습문제에 따라 급수는 수렴한다. 물론 이 급수는 등비급수를 두 번씩 늘어놓은 것일 뿐이다.

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# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류