비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{{n}^{3}+3{n}^{2}+3n+1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{{n}^{3}+3{n}^{2}+3n+1}$

정답·풀이 보기

$p-\text{series,}$ $p=2$ 인 $p$ -급수와의 극한비교판정법에 의해 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges absolutely by limit comparison with $p-\text{series,}$ $p=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 31번우리말 번역

근판정법과 극한비교판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{n}=1/{x}_{n}^{n}$ 이고 ${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}},$ ${x}_{1}=1$ 입니다. (힌트: $\{{x}_{n}\}.)$ 의 극한을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${x}_{n}\to \sqrt{2}$ 이므로 근판정법과 극한비교판정법에 의해 수렴한다.