비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{2k}$ (힌트: ${a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln {k}^{2}}.)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

${a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{2k}$ (Hint: ${a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln {k}^{2}}.)$

정답·풀이 보기

${a}_{k}\approx {e}^{-\ln {k}^{2}}=1/{k}^{2}.$ $p-\text{급수,}$ $p=2$ 와의 극한 비교판정법에 의해 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}\approx {e}^{-\ln {k}^{2}}=1/{k}^{2}.$ Series converges by limit comparison with $p-\text{series,}$ $p=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 41번우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{k}={2}^{k}/\left(\begin{array}{c}3k \\ k\end{array}\right)$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{k}=\frac{{2}^{k}1\cdot 2\cdots k}{(2k+1)(2k+2)\cdots 3k}\le {(2/3)}^{k}$ 이므로 등비급수와 비교하면 수렴한다.