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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

비율 판정법과 근 판정법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 비판정법에 의해 수렴합니다. 부분합산법 ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak)\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}) 을 이용하여 주어진 급수의 합을 구하세요.

∑k=1∞kck\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}, 단, c>1c>1 (힌트: ak=k{a}_{k}=k 이고 bk=c1−k/(c−1).){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1).) 로 놓으세요.)

영어 원문 보기

The following series converge by the ratio test. Use summation by parts, ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak),\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}), to find the sum of the given series.

∑k=1∞kck,\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}, where c>1c>1 (Hint: Take ak=k{a}_{k}=k and bk=c1−k/(c−1).){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1).)

정답·풀이 보기

bk=c1−k/(c−1){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1) 이고 ak=k{a}_{k}=k 이면 bk+1−bk=−c−k{b}_{k+1}-{b}_{k}=-{c}^{-k} 이고 ∑n=1∞kck=a1b1+1c−1∑k=1∞c−k=c(c−1)2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}={a}_{1}{b}_{1}+\frac{1}{c-1}\sum_{k=1}^{\infty }{c}^{-k}=\frac{c}{{(c-1)}^{2}} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If bk=c1−k/(c−1){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1) and ak=k,{a}_{k}=k, then bk+1−bk=−c−k{b}_{k+1}-{b}_{k}=-{c}^{-k} and ∑n=1∞kck=a1b1+1c−1∑k=1∞c−k=c(c−1)2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}={a}_{1}{b}_{1}+\frac{1}{c-1}\sum_{k=1}^{\infty }{c}^{-k}=\frac{c}{{(c-1)}^{2}}.

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.4절 · 3번우리말 번역

팩토리얼을 포함한 항에는 잘 적용되지 않는 수렴 판정법 세 가지는 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

적분판정법, 극한비교판정법, 근판정법

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