빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

비율 판정법과 근 판정법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

∑k=1∞x2kk2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{2k}}{{k}^{2}}

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

∑k=1∞x2kk2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{2k}}{{k}^{2}}

정답·풀이 보기

∣x∣≤1|x|\le 1

원본 교재 풀이(영어)

∣x∣≤1|x|\le 1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 57번우리말 번역

어떤 r>0r>0 에 대해 ∑n=1∞rn\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}} 이 수렴하는지 구하세요. 수렴하는 rr 이 없으면 없다고 답하세요. (힌트: ∑n=1∞an=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1an.)\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{a}_{n}.)

다 풀었으면 정답 확인

0<r<10<r<1. 비판정법과 근판정법으로는 판정할 수 없다. 힌트를 이용하면 k2≤n<(k+1)2{k}^{2}\le n<{(k+1)}^{2} 일 때 rn{r}^{\sqrt{n}} 꼴의 항이 2k2k 개 있고, r<1r<1 이면 각 항은 rk{r}^{k} 이상이다. 따라서 ∑n=1∞rn=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1rn\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{r}^{\sqrt{n}} ≥∑k=1∞2krk\ge \sum_{k=1}^{\infty }2k{r}^{k} 이고, 이 급수는 r<1r<1 일 때 비판정법에 의해 수렴한다. r≥1r\ge 1 이면 발산판정법에 의해 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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