비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 57번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 57번대학 수준우리말 번역

어떤 $r>0$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}$ 이 수렴하는지 구하세요. 수렴하는 $r$ 이 없으면 없다고 답하세요. (힌트: $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{a}_{n}.)$

영어 원문 보기

For which values of $r>0,$ if any, does $\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}$ converge? (Hint: $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{a}_{n}.)$

정답·풀이 보기

$0<r<1$ . 비판정법과 근판정법으로는 판정할 수 없다. 힌트를 이용하면 ${k}^{2}\le n<{(k+1)}^{2}$ 일 때 ${r}^{\sqrt{n}}$ 꼴의 항이 $2k$ 개 있고, $r<1$ 이면 각 항은 ${r}^{k}$ 이상이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{r}^{\sqrt{n}}$ $\ge \sum_{k=1}^{\infty }2k{r}^{k}$ 이고, 이 급수는 $r<1$ 일 때 비판정법에 의해 수렴한다. $r\ge 1$ 이면 발산판정법에 의해 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

$0<r<1.$ Note that the ratio and root tests are inconclusive. Using the hint, there are $2k$ terms ${r}^{\sqrt{n}}$ for ${k}^{2}\le n<{(k+1)}^{2},$ and for $r<1$ each term is at least ${r}^{k}.$ Thus, $\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{r}^{\sqrt{n}}$ $\ge \sum_{k=1}^{\infty }2k{r}^{k},$ which converges by the ratio test for $r<1.$ For $r\ge 1$ the series diverges by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 47번우리말 번역

다음 급수는 비판정법에 의해 수렴한다. 부분합산 공식 $\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k})$ 을 이용하여 주어진 급수의 합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n+1)}^{2}}{{2}^{n}}$

다 풀었으면 정답 확인

$6+4+1=11$

이 문제로 이어서 풀기

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류