비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 ${x}^{k}$ 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 $x$ 의 범위를 구하세요.

$0<r<1$ 이라 하자. 어떤 실수 $p$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty }{n}^{p}{r}^{n}$ 이 수렴하나요?

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor ${x}^{k}.$ Find the range of $x$ for which the ratio test implies that the series converges.

Let $0<r<1.$ For which real numbers $p$ does $\sum_{n=1}^{\infty }{n}^{p}{r}^{n}$ converge?

정답·풀이 보기

비판정법에 의해 모든 실수 $p$ 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

All real numbers $p$ by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{2k}$ (힌트: ${a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln {k}^{2}}.)$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{k}\approx {e}^{-\ln {k}^{2}}=1/{k}^{2}.$ $p-\text{급수,}$ $p=2$ 와의 극한 비교판정법에 의해 급수는 수렴한다.

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