비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 61번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 61번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}$ 라 하자. ${a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2$ 임을 보이세요. 어떤 $x>0$ 에 대해 일반화된 비판정법으로 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴함을 알 수 있는지 구하세요. (힌트: $2{a}_{2n}/{a}_{n}$ 을 각각 $1/(1+x/(2n)).)$ 보다 작은 $n$ 개의 인수의 곱으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}.$ Show that ${a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2.$ For which $x>0$ does the generalized ratio test imply convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}?$ (Hint: Write $2{a}_{2n}/{a}_{n}$ as a product of $n$ factors each smaller than $1/(1+x/(2n)).)$

정답·풀이 보기

${a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}$ 이다. $k$ 번째 인수의 역수는 $(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)$ 이므로 곱은 ${(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}$ 보다 작다. 따라서 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}$ 이다. 이 급수는 $x>0$ 일 때 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}.$ The inverse of the $k\text{th}$ factor is $(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)$ so the product is less than ${(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}.$ Thus for $x>0,$ $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}.$ The series converges for $x>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{{n}^{3}+3{n}^{2}+3n+1}$

다 풀었으면 정답 확인

$p-\text{series,}$ $p=2$ 인 $p$ -급수와의 극한비교판정법에 의해 절대수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

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