테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6장 복습 · 5번

OpenStax 2권 · 6장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{n}^{2}{(x-1)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence and the interval of convergence for the given series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{n}^{2}{(x-1)}^{n}$

정답·풀이 보기

수렴 반지름: $1$ ; 수렴 구간: $(0,2)$

원본 교재 풀이(영어)

ROC: $1;$ IOC: $(0,2)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

다 풀었으면 정답 확인

${f}^{(n+1)}(z)$ 는 $\sin z$ 또는 $\cos z$ 이므로 $M=1$ 이다. $|x-0|\le \frac{\pi }{2}$ 이므로 $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=7$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{7}\le 0.00092$ 이다.

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# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류