테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\cos x$ on $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)$ 는 $\sin z$ 또는 $\cos z$ 이므로 $M=1$ 이다. $|x-0|\le \frac{\pi }{2}$ 이므로 $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=7$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{7}\le 0.00092$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)$ is $\sin z$ or $\cos z,$ we have $M=1.$ Since $|x-0|\le \frac{\pi }{2},$ we seek the smallest n such that $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=7.$ The remainder estimate is ${R}_{7}\le 0.00092.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지항 어림 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에 대하여, 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족함을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않으면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] e²; $a=0,n=9$

다 풀었으면 정답 확인

어림 $\frac{{2}^{10}}{10!}<0.000283$ 을 이용하면, 9차 테일러 전개를 사용하여 $x=2$ 에서 e^x 의 값을 ${e}^{2}\approx {p}_{9}(2)=1+2+\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{{2}^{3}}{6}+\cdots +\frac{{2}^{9}}{9!}=7.3887\ldots$ 로 어림할 수 있으며, 실제로는 ${e}^{2}\approx 7.3891$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류