테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6장 복습 · 9번

OpenStax 2권 · 6장 복습 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 거듭제곱급수 표현을 구하세요. 그 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{x+3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series representation for the given function. Determine the radius of convergence and the interval of convergence for that series.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{x+3}$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n+1}}{x}^{n+2}$ ; 수렴 반지름: $3$ ; 수렴 구간: $(-3,3)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n+1}}{x}^{n+2};$ ROC: $3;$ IOC: $(-3,3)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 48번우리말 번역

$\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm{d}x\le\frac{1}{3}$ 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \ge 1+x\qquad\text{for all $x\ge 0$}\\ &\implies e^x-1\ge x \\ &\implies \frac{x^3}{e^x-1}\le \frac{x^3}{x} = x^2 \\ &\implies \int_0^1\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류