멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{2}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{2}^{n}}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$ 이므로 $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to \frac{x}{2}$ 이고, 따라서 $R=2$ 이다. $x=\pm 2$ 일 때 급수는 발산 판정법에 의해 발산한다. 수렴 구간은 $I=(-2,2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$ so $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to \frac{x}{2}$ so $R=2.$ When $x=\pm 2$ the series diverges by the divergence test. The interval of convergence is $I=(-2,2).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 49번우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이고 n 이 홀수이면 ${a}_{n}=0$ 이라고 하자. $p(x)=p(-x)$ 인 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n+1}{x}^{2n+1}$ 로 다시 쓸 수 있고, $x$ 의 짝수 거듭제곱만 남으므로 $p(x)=p(-x)$ 이다. $p(x)$ 는 우함수(짝함수)이며, 정의에 의해 우함수는 $p(x)=p(-x)$ 를 만족시킨다.

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