멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $n=10,50,100$ 일 때 부분합 ${S}_{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}}$ 의 그래프를 그리세요. $N$ 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 부분합의 변화 양상에 대해 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of the partial sums ${S}_{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}}$ for $n=10,50,100$ on the interval $[-0.99,0.99].$ Comment on the behavior of the sums near $x=-1$ and near $x=1$ as N increases.

정답·풀이 보기

이 그림은 y = -ln(1-x) 의 그래프로, 원점을 지나는 증가하는 곡선이다.

근사는 $x=\pm 1$ 두 근처 모두에서 빠르게 안정되는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of y = -ln(1-x) which is an increasing curve passing through the origin.

The approximation appears to stabilize quickly near both $x=\pm 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 이고 $(-1,1)$ 에서 수렴한다는 사실을 이용하여, 주어진 중심 a 에 대해 각 함수의 거듭제곱급수를 구하고 그 수렴 구간을 말하세요.

$f(x)=\frac{1}{1-2x};a=0.$

다 풀었으면 정답 확인

$\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{n}{x}^{n}$ on $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

이 문제로 이어서 풀기

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