멱급수와 수렴 반경 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번

OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정하고, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

$|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x|$ so $R=\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x|$ so $R=\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.5절 · 3번우리말 번역

어떤 양의 상수 $a$ , $c$ 와 어떤 상수 수열 $\{A_n\}$ 에 대하여 $f(x)=\displaystyle \sum_{n=a}^\infty A_n(x-c)^n$ 이라 하자. $x$ 가 어떤 값일 때 $f(x)$ 가 반드시 수렴하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x=c$ 이면

$\begin{aligned} f(x)&=A_a(c-c)^a+A_{a+1}(c-c)^{a+1}+A_{a+2}(c-c)^{a+2}+\cdots\\ &=A_a \cdot 0+A_{a+1}\cdot 0+A_{a+2}\cdot 0+\cdots\\ &=0 \end{aligned}$

이다. 따라서 $x=c$ 일 때 $f(x)$ 는 (상수 0 으로) 수렴한다. ( $a=0$ 을 허용했다면 $0^0=1$ 로 약속하므로 $f(x)$ 가 0 이 아닌 수 $A_0$ 으로 수렴할 수도 있다.)

수열 $\{A_n\}$ 에 따라서는 $x \neq c$ 인 모든 $x$ 에 대해 $f(x)$ 가 발산할 수도 있다. 예를 들어 $A_n=n!$ 이라 하면 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!(x-c)^n$ 이다. $x \neq c$ 이면 극한 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(n+1)!(x-c)^{n+1}}{n!(x-c)^n}\right|=\lim_{n\to\infty}(n+1)|x-c|$ 는 $x-c\neq 0$ 이므로 무한대이다. 따라서 이 급수는 발산한다.

지금까지 이 급수가 $x=c$ 에서는 반드시 수렴하지만, 다른 점에서는 수렴하지 않을 수 있음을 보였다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류