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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

멱급수의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연금의 현재 가치 P 를 계산하세요. 이 연금은 매년 $10,000 씩 20년 동안 지급되며, 이자율은 r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05, 그리고 r=0.07r=0.07 인 경우를 가정합니다.

영어 원문 보기

Calculate the present values P of an annuity in which $10,000 is to be paid out annually for a period of 20 years, assuming interest rates of r=0.03,r=0.05,r=0.03,r=0.05, and r=0.07.r=0.07.

정답·풀이 보기

P=P1+⋯+P20P={P}_{1}+\cdots +{P}_{20} 이고 Pk=10,0001(1+r)k{P}_{k}=10,000\frac{1}{{(1+r)}^{k}} 이다. 그러면 P=10,000∑k=1201(1+r)k=10,0001−(1+r)−20rP=10,000\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{{(1+r)}^{k}}=10,000\frac{1-{(1+r)}^{-20}}{r} 이다. r=0.03,P≈10,000 × 14.8775=148,775r=0.03,P\approx 10,000\,\times \,14.8775=148,775 일 때, r=0.05,P≈10,000 × 12.4622=124,622r=0.05,P\approx 10,000\,\times \,12.4622=124,622 일 때, r=0.07,P≈105,940r=0.07,P\approx 105,940 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

P=P1+⋯+P20P={P}_{1}+\cdots +{P}_{20} where Pk=10,0001(1+r)k.{P}_{k}=10,000\frac{1}{{(1+r)}^{k}}. Then P=10,000∑k=1201(1+r)k=10,0001−(1+r)−20r.P=10,000\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{{(1+r)}^{k}}=10,000\frac{1-{(1+r)}^{-20}}{r}. When r=0.03,P≈10,000 × 14.8775=148,775.r=0.03,P\approx 10,000\,\times \,14.8775=148,775. When r=0.05,P≈10,000 × 12.4622=124,622.r=0.05,P\approx 10,000\,\times \,12.4622=124,622. When r=0.07,P≈105,940.r=0.07,P\approx 105,940.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 13번우리말 번역

현재 가치가 $100,000인 연금에 대해, 이자율이 각각 r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05, 그리고 r=0.07r=0.07 일 때 20년 동안 지급할 연간 지급액 C 를 계산하세요.

다 풀었으면 정답 확인

일반적으로 N년 동안 지급할 때 P=C(1−(1+r)−N)rP=\frac{C(1-{(1+r)}^{-N})}{r} 이고, 이는 C=Pr1−(1+r)−NC=\frac{Pr}{1-{(1+r)}^{-N}} 와 같다. N=20N=20 이고 P=100,000P=100,000 이면 C=6721.57C=6721.57 이고 이때 r=0.03;C=8024.26r=0.03;C=8024.26 이며 이때 r=0.05r=0.05; 그리고 C≈9439.29C\approx 9439.29 이며 이때 r=0.07r=0.07 이다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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