빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

멱급수의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

x−x2−x3+x4−x5−x6+x7−⋯x-{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}-{x}^{5}-{x}^{6}+{x}^{7}-\cdots (힌트: 거듭제곱 x3k, x3k−1,{x}^{3k-1}, x3k−2.){x}^{3k-2}.) 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

x−x2−x3+x4−x5−x6+x7−⋯x-{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}-{x}^{5}-{x}^{6}+{x}^{7}-\cdots (Hint: Group powers x3k, x3k−1,{x}^{3k-1}, and x3k−2.){x}^{3k-2}.)

정답·풀이 보기

(x−x2−x3)(1+x3+x6+⋯ )=x−x2−x31−x3(x-{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x-{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}

원본 교재 풀이(영어)

(x−x2−x3)(1+x3+x6+⋯ )=x−x2−x31−x3(x-{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x-{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}} 의 값을 f′(12){f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right) 로 보고 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′(12)=∑n=1∞n2n−1=ddx(1−x)−1∣x=1/2=1(1−x)2∣x=1/2=4f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4 so ∑n=1∞n2n=2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.

이 문제로 이어서 풀기
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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