멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 일 때, $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}$ 의 값을 ${f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)$ 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}$ as ${f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.$

정답·풀이 보기

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4$ so $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ 이고 $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$ 일 때

다 풀었으면 정답 확인

항별 적분을 하면 ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수의 연산계산자동 분류