멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 f 와 g 가 주어진 대로 정의될 때, $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ so ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ and $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$ 이다.

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