멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ so ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ and $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=\ln x$ 의 $x=1$ 에서의 거듭제곱급수 (힌트: $x=1-(1-x))$

다 풀었으면 정답 확인

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

이 문제로 이어서 풀기

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