멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=\ln x$ 의 $x=1$ 에서의 거듭제곱급수 (힌트: $x=1-(1-x))$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\ln x$ centered at $x=1$ (Hint: $x=1-(1-x))$

정답·풀이 보기

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

원본 교재 풀이(영어)

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번우리말 번역

다음 문제에서, 지시가 있으면 치환을 이용하여 각 급수를 초등함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}$

다 풀었으면 정답 확인

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x)$ 이므로 $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3})$ . 수렴 반지름은 비판정법에 의해 1이다.

이 문제로 이어서 풀기

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