멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 $f$ 의 급수 전개를 항별로 미분하여 $f$ 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

$f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

$f$ 의 도함수는 $-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $f$ is $-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 일 때, $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}$ 의 값을 ${f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)$ 로 보고 구하세요.

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$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16$ so $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류