멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 일 때, $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}$ 의 값을 ${f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)$ 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}$ as ${f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.$

정답·풀이 보기

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16$ so $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] $\ln (1+x)$ 의 무한급수에서 $\ln (1-x)$ 의 무한급수를 빼서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요. $x=\frac{1}{3}$ 에서 값을 구하세요. 이 급수의 제 N 부분합이 $\ln (2)$ 를 오차 0.001 미만으로 근사하게 되는 가장 작은 N 은 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ 이므로 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 이다. 따라서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}$ 이다. $x=\frac{1}{3}$ 일 때 $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}$ 을 얻는다. $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots$ 이고 $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ 이며 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이므로 $N=4$ 이다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류