멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 $f$ 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 $f$ 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

$f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of $f$ term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of $f.$

$f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}$

정답·풀이 보기

$f$ 의 부정적분은 $-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The indefinite integral of $f$ is $-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서 $f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}$

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