멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서 $f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$ at $x=0$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번우리말 번역

급수 $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ 을 항별로 미분하여 $E(x)$ 가 그 도함수와 같음을 보이세요.

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