멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ 이고 $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$ 일 때

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ where $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$

정답·풀이 보기

항별 적분을 하면 ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Term-by-term integration gives ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=0$ , ${a}_{1}=1$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

세 개의 곡선을 그린 그래프이다. 곡선은 모두 증가하며, x = 0 에 가까워질수록 서로 매우 가까워진다. 그리고 x 가 0 에서 멀어지면 곡선들이 서로 갈라진다.

실선은 S₅ 이다. 파선은 S₂, 점선은 S₃, 일점쇄선은 S₄ 이다.

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