멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\ln (1+x)$ 의 무한급수에서 $\ln (1-x)$ 의 무한급수를 빼서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요. $x=\frac{1}{3}$ 에서 값을 구하세요. 이 급수의 제 N 부분합이 $\ln (2)$ 를 오차 0.001 미만으로 근사하게 되는 가장 작은 N 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Subtract the infinite series of $\ln (1-x)$ from $\ln (1+x)$ to get a power series for $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right).$ Evaluate at $x=\frac{1}{3}.$ What is the smallest N such that the Nth partial sum of this series approximates $\ln (2)$ with an error less than 0.001?

정답·풀이 보기

$\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ 이므로 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 이다. 따라서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}$ 이다. $x=\frac{1}{3}$ 일 때 $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}$ 을 얻는다. $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots$ 이고 $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ 이며 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이므로 $N=4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have $\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ so $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$ Thus, $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}.$ When $x=\frac{1}{3}$ we obtain $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}.$ We have $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots ,$ while $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ and $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=4.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번우리말 번역

다음 문제에서 각 급수를 유리함수로 나타내세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{(x-3)}^{2n-1}}$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{x-3}\,\frac{1}{1-\frac{1}{{(x-3)}^{2}}}=\frac{x-3}{{(x-3)}^{2}-1}$

이 문제로 이어서 풀기

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