빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

멱급수의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 지시가 있으면 치환을 이용하여 각 급수를 초등함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

∑k=1∞x3k6k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

∑k=1∞x3k6k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}

정답·풀이 보기

∑k=1∞xkk=−ln⁡(1−x)\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x) 이므로 ∑k=1∞x3k6k=−16ln⁡(1−x3)\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3}). 수렴 반지름은 비판정법에 의해 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

∑k=1∞xkk=−ln⁡(1−x)\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x) so ∑k=1∞x3k6k=−16ln⁡(1−x3).\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3}). The radius of convergence is equal to 1 by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 미분하여 ff 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=11+x=∑n=0∞(−1)nxnf(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}

다 풀었으면 정답 확인

ff 의 도함수는 −1(1+x)2=−∑n=0∞(−1)n(n+1)xn-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n} 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「멱급수의 연산」 문제 목록으로