멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $\ln (1-{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$\ln (1-{x}^{2})$ at $x=0$

정답·풀이 보기

$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

원본 교재 풀이(영어)

$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ 에서 $y={2}^{-x}$ 로 치환하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$y={2}^{-x}$ 이면 $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}$ 이다. ${a}_{k}={2}^{-kx}$ 이면 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ 이다. 따라서 이 급수는 모든 $x>0$ 에 대해 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

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