멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ 에서 $y={2}^{-x}$ 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ using $y={2}^{-x}$

정답·풀이 보기

$y={2}^{-x}$ 이면 $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}$ 이다. ${a}_{k}={2}^{-kx}$ 이면 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ 이다. 따라서 이 급수는 모든 $x>0$ 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

If $y={2}^{-x},$ then $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}.$ If ${a}_{k}={2}^{-kx},$ then $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ when $x>0.$ So the series converges for all $x>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 가 주어졌을 때, $x=-1/2$ 에서 계산한 합의 항을 몇 개(N 개) 더해야 $\ln (2)$ 를 오차 1/1000 이내로 어림할 수 있는지 구하세요. 이에 해당하는 부분합 $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}$ 일 때이다. $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}}$ 이므로 $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ 이고 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이다. 따라서 $N=10.$

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수의 연산계산자동 분류