멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

급수 $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ 을 항별로 미분하여 $E(x)$ 가 그 도함수와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Differentiate the series $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ term-by-term to show that $E(x)$ is equal to its derivative.

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원본 교재 풀이(영어)

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한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $\ln (1-{x}^{2})$

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$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

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