멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=0$ , ${a}_{1}=1$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}.$ For ${a}_{0}=0$ and ${a}_{1}=1,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

정답·풀이 보기

세 개의 곡선을 그린 그래프이다. 곡선은 모두 증가하며, x = 0 에 가까워질수록 서로 매우 가까워진다. 그리고 x 가 0 에서 멀어지면 곡선들이 서로 갈라진다.

실선은 S₅ 이다. 파선은 S₂, 점선은 S₃, 일점쇄선은 S₄ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a graph of three curves. They are all increasing and become very close as the curves approach x = 0. Then they separate as x moves away from 0.

The solid curve is S₅. The dashed curve is S₂, dotted is S₃, and dash-dotted is S₄

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번우리말 번역

다음 문제에서 f 와 g 가 주어진 대로 정의될 때, $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수의 연산계산자동 분류