멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 가 주어졌을 때, $x=-1/2$ 에서 계산한 합의 항을 몇 개(N 개) 더해야 $\ln (2)$ 를 오차 1/1000 이내로 어림할 수 있는지 구하세요. 이에 해당하는 부분합 $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n},$ determine how many terms N of the sum evaluated at $x=-1/2$ are needed to approximate $\ln (2)$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$

정답·풀이 보기

$x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}$ 일 때이다. $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}}$ 이므로 $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ 이고 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이다. 따라서 $N=10.$

원본 교재 풀이(영어)

When $x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}.$ Since $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}},$ one has $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ whereas $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=10.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번우리말 번역

[계산기 사용] ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$ 임을 떠올리세요. $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 의 값을 정확한 값으로 가정하고, 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에서의 부분합 ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 을 계산하여 $\frac{\pi }{6}$ 을 어림하세요. $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 이 π 를 오차 0.001 이내로 어림하는 가장 작은 수 N 은 얼마인지 구하세요. 오차 0.00001 이내로 어림하려면 항이 몇 개 필요한지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ 이므로 $N=5$ 가 오차 0.001 이내인 가장 작은 부분합이다. 또한 $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ 이므로 $N=8$ 이 오차 0.00001 이내가 되는 가장 작은 N 이다.

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