멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 5번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 부분분수를 이용하여 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use partial fractions to find the power series of each function.

$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}$

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$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}=\frac{1}{{x}^{2}-1}-\frac{1}{4}\,\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty }\left(-1+(-1){\cdot }^{n+1}\frac{1}{{2}^{n+2}}\right){x}^{2n}$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번우리말 번역

연금의 현재 가치 P 를 계산하세요. 이 연금은 매년 $10,000 씩 20년 동안 지급되며, 이자율은 $r=0.03,r=0.05$ , 그리고 $r=0.07$ 인 경우를 가정합니다.

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$P={P}_{1}+\cdots +{P}_{20}$ 이고 ${P}_{k}=10,000\frac{1}{{(1+r)}^{k}}$ 이다. 그러면 $P=10,000\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{{(1+r)}^{k}}=10,000\frac{1-{(1+r)}^{-20}}{r}$ 이다. $r=0.03,P\approx 10,000\,\times \,14.8775=148,775$ 일 때, $r=0.05,P\approx 10,000\,\times \,12.4622=124,622$ 일 때, $r=0.07,P\approx 105,940$ 일 때이다.

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