멱급수의 연산 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번

OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$ 임을 떠올리세요. $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 의 값을 정확한 값으로 가정하고, 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에서의 부분합 ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 을 계산하여 $\frac{\pi }{6}$ 을 어림하세요. $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 이 π 를 오차 0.001 이내로 어림하는 가장 작은 수 N 은 얼마인지 구하세요. 오차 0.00001 이내로 어림하려면 항이 몇 개 필요한지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}.$ Assuming an exact value of $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right),$ estimate $\frac{\pi }{6}$ by evaluating partial sums ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ of the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ at $x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ What is the smallest number N such that $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ approximates π accurately to within 0.001? How many terms are needed for accuracy to within 0.00001?

정답·풀이 보기

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ 이므로 $N=5$ 가 오차 0.001 이내인 가장 작은 부분합이다. 또한 $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ 이므로 $N=8$ 이 오차 0.00001 이내가 되는 가장 작은 N 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ One has $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ and $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ so $N=5$ is the smallest partial sum with accuracy to within 0.001. Also, $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ while $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ so $N=8$ is the smallest N to give accuracy to within 0.00001.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.2절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 부분분수를 이용하여 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$\frac{4}{(x-3)(x+1)}$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{4}{(x-3)(x+1)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+1}=-\frac{1}{3\left(1-\frac{x}{3}\right)}-\frac{1}{1-(-x)}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty }{\left(\frac{x}{3}\right)}^{n}-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\left({(-1)}^{n+1}-\frac{1}{{3}^{n+1}}\right){x}^{n}$

이 문제로 이어서 풀기

# 멱급수의 연산계산자동 분류