테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지항 어림 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에 대하여, 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족함을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않으면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] e²; $a=0,n=9$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] e²; $a=0,n=9$

정답·풀이 보기

어림 $\frac{{2}^{10}}{10!}<0.000283$ 을 이용하면, 9차 테일러 전개를 사용하여 $x=2$ 에서 e^x 의 값을 ${e}^{2}\approx {p}_{9}(2)=1+2+\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{{2}^{3}}{6}+\cdots +\frac{{2}^{9}}{9!}=7.3887\ldots$ 로 어림할 수 있으며, 실제로는 ${e}^{2}\approx 7.3891$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the estimate $\frac{{2}^{10}}{10!}<0.000283$ we can use the Taylor expansion of order 9 to estimate e^x at $x=2.$ as ${e}^{2}\approx {p}_{9}(2)=1+2+\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{{2}^{3}}{6}+\cdots +\frac{{2}^{9}}{9!}=7.3887\ldots$ whereas ${e}^{2}\approx 7.3891.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 58번우리말 번역

다음 연습문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 써서 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}\approx \frac{\left(1-\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4!}-\cdots \right)-1}{2x}\to -\frac{1}{4}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류