테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 14번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 선택이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족함을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] $\ln (2);a=1,n=1000$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] $\ln (2);a=1,n=1000$

정답·풀이 보기

$\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}(\ln x)={(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}},{R}_{1000}\approx \frac{1}{1001}$ 이므로 ${p}_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\approx 0.6936$ 이고, 반면 $\ln (2)\approx 0.6931\cdots$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}(\ln x)={(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}},{R}_{1000}\approx \frac{1}{1001}.$ One has ${p}_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\approx 0.6936$ whereas $\ln (2)\approx 0.6931\cdots .$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 52번우리말 번역

[계산기 사용] $[-1,1]$ 에서 $\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}$ 를 $\tan x$ 와 비교하세요. 이를 $\tan x$ 를 $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}$ 로 근사할 때의 테일러 나머지 추정과 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그래프에는 곡선이 두 개 있다. 실선 곡선은 매우 평평하며 x축에 가깝다. 이 곡선은 원점을 지난다. 두 번째 곡선은 끊어진 선(점선)으로, 위로 볼록하고 y축에 대해 대칭이다. 이 곡선은 -3과 3 사이에서 x축에 매우 가깝다.

$[-1,1]$ 에서 그 차이는 ${10}^{-4}$ 정도인 반면, 테일러 근사의 오차는 $\pm 1$ 근처에서 약 $0.1$ 이다. 위쪽 곡선은 ${\tan }^{2}x-{\left(\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}\right)}^{2}$ 의 그래프이고, 아래쪽 점선 그래프는 ${t}^{2}-{\left(\frac{{S}_{5}}{{C}_{4}}\right)}^{2}$ 을 나타낸다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류