테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 52번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $[-1,1]$ 에서 $\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}$ 를 $\tan x$ 와 비교하세요. 이를 $\tan x$ 를 $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}$ 로 근사할 때의 테일러 나머지 추정과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Compare $\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}$ on $[-1,1]$ to $\tan x.$ Compare this with the Taylor remainder estimate for the approximation of $\tan x$ by $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}.$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 곡선이 두 개 있다. 실선 곡선은 매우 평평하며 x축에 가깝다. 이 곡선은 원점을 지난다. 두 번째 곡선은 끊어진 선(점선)으로, 위로 볼록하고 y축에 대해 대칭이다. 이 곡선은 -3과 3 사이에서 x축에 매우 가깝다.

$[-1,1]$ 에서 그 차이는 ${10}^{-4}$ 정도인 반면, 테일러 근사의 오차는 $\pm 1$ 근처에서 약 $0.1$ 이다. 위쪽 곡선은 ${\tan }^{2}x-{\left(\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}\right)}^{2}$ 의 그래프이고, 아래쪽 점선 그래프는 ${t}^{2}-{\left(\frac{{S}_{5}}{{C}_{4}}\right)}^{2}$ 을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has two curves. The solid curve is very flat and close to the x-axis. It passes through the origin. The second curve, a broken line, is concave down and symmetrical about the y-axis. It is very close to the x-axis between -3 and 3.

The difference is on the order of ${10}^{-4}$ on $[-1,1]$ while the Taylor approximation error is around $0.1$ near $\pm 1.$ The top curve is a plot of ${\tan }^{2}x-{\left(\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}\right)}^{2}$ and the lower dashed plot shows ${t}^{2}-{\left(\frac{{S}_{5}}{{C}_{4}}\right)}^{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 50번우리말 번역

[계산기 사용] $[-\pi ,\pi ]$ 에서 ${\cos }^{2}x-{({C}_{4}(x))}^{2}$ 의 그래프를 그리세요. 최대 차이를 $\cos x$ 에 대한 테일러 나머지 항 추정값의 제곱과 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그래프는 y축에 대해 대칭인, 아래로 볼록한 곡선이다. 그래프에서 가장 낮은 점은 원점이고, 나머지 곡선은 x축 위쪽에 있다.

구간의 안쪽에서는 차이가 작지만 양 끝점 근처에서는 $1$ 에 가까워진다. 나머지 항의 추정값은 $|{R}_{4}|=\frac{{\pi }^{5}}{120}\approx 2.552$ 이다.

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