테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

근사식 ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ 에 −x² 을 대입한 식을 적분하여 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Integrate the approximation ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ evaluated at −x² to approximate ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ 이고, 반면 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ whereas ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번우리말 번역

(테일러 근사와 근 찾기.) 뉴턴의 방법 ${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f'({x}_{n})}$ 은 입력값 ${x}_{0}$ 근처에서 $f(x)=0$ 의 해를 근사함을 떠올리세요.

a. $f$ 와 $g$ 가 역함수일 때, $g(x)=a$ 의 해가 $f$ 의 값 $f(a)\,\text{의}\,f$ 인 이유를 설명하세요. b. ${p}_{N}(x)$ 를 ${e}^{x}$ 의 $N\text{차}$ 매클로린 다항식이라 하세요. 뉴턴의 방법을 이용하여 $N=4,5,6$ 일 때 ${p}_{N}(x)-2=0$ 의 해를 어림하세요. c. ${p}_{N}(x)-2=0$ 의 근사 근이 $\ln (2)$ 의 근삿값인 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. 답은 다양하다. b. 다음은 ${p}_{N}(x)-2=0:$ 의 근을 어림하기 위해 뉴턴의 방법을 $10$ 번 반복한 후의 ${x}_{n}$ 값이다. $N=4,x=0.6939...;$ $N=5,x=0.6932...;$ $N=6,x=0.69315...;.$ (참고: $\ln (2)=0.69314...)$ c. 답은 다양하다.

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# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류