테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번대학 수준우리말 번역

(테일러 근사와 근 찾기.) 뉴턴의 방법 ${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f'({x}_{n})}$ 은 입력값 ${x}_{0}$ 근처에서 $f(x)=0$ 의 해를 근사함을 떠올리세요.

a. $f$ 와 $g$ 가 역함수일 때, $g(x)=a$ 의 해가 $f$ 의 값 $f(a)\,\text{의}\,f$ 인 이유를 설명하세요. b. ${p}_{N}(x)$ 를 ${e}^{x}$ 의 $N\text{차}$ 매클로린 다항식이라 하세요. 뉴턴의 방법을 이용하여 $N=4,5,6$ 일 때 ${p}_{N}(x)-2=0$ 의 해를 어림하세요. c. ${p}_{N}(x)-2=0$ 의 근사 근이 $\ln (2)$ 의 근삿값인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

(Taylor approximations and root finding.) Recall that Newton’s method ${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f'({x}_{n})}$ approximates solutions of $f(x)=0$ near the input ${x}_{0}.$

a. If $f$ and $g$ are inverse functions, explain why a solution of $g(x)=a$ is the value $f(a)\,\text{of}\,f.$ b. Let ${p}_{N}(x)$ be the $N\text{th}$ degree Maclaurin polynomial of ${e}^{x}.$ Use Newton’s method to approximate solutions of ${p}_{N}(x)-2=0$ for $N=4,5,6.$ c. Explain why the approximate roots of ${p}_{N}(x)-2=0$ are approximate values of $\ln (2).$

정답·풀이 보기

a. 답은 다양하다. b. 다음은 ${p}_{N}(x)-2=0:$ 의 근을 어림하기 위해 뉴턴의 방법을 $10$ 번 반복한 후의 ${x}_{n}$ 값이다. $N=4,x=0.6939...;$ $N=5,x=0.6932...;$ $N=6,x=0.69315...;.$ (참고: $\ln (2)=0.69314...)$ c. 답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers will vary. b. The following are the ${x}_{n}$ values after $10$ iterations of Newton’s method to approximation a root of ${p}_{N}(x)-2=0:$ for $N=4,x=0.6939...;$ for $N=5,x=0.6932...;$ for $N=6,x=0.69315...;.$ (Note: $\ln (2)=0.69314...)$ c. Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 선택이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족함을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] $\ln (2);a=1,n=1000$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}(\ln x)={(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}},{R}_{1000}\approx \frac{1}{1001}$ 이므로 ${p}_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\approx 0.6936$ 이고, 반면 $\ln (2)\approx 0.6931\cdots$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류