테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=-1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=-1$

정답·풀이 보기

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 2번우리말 번역

$T(x)$ 가 $a=5$ 를 중심으로 하는 $f(x)=\arctan^3\left(e^x+7\right)$ 의 테일러 급수라고 할 때, $T(5)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

테일러 급수를 만드는 방법에 따르면, 테일러 급수와 함수는 중심으로 택한 점에서 값이 같다. 따라서 $T(5)=\arctan^3\left(e^5+7\right)$ 이다.

테일러 급수를 중심이 아닌 점에서 계산하려면, 일반적으로 (a) 그 급수가 수렴하는지, (b) 그 급수가 만들 때 사용한 함수의 값과 같은 값으로 수렴하는지 확인해야 한다.