테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-x}$ , 구간 $[-3,3],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-x}$ on $[-3,3],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ 이므로 $M={e}^{3}$ 이다. $|x-0|\le 3$ 이므로 $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=14$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{14}\le 0.000220$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ one has $M={e}^{3}.$ Since $|x-0|\le 3,$ one seeks the smallest n such that $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=14.$ The remainder estimate is ${R}_{14}\le 0.000220.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 $x=1$ 에서의 테일러 급수를 구하세요.

$f(x)={(x-2)}^{2}$

다 풀었으면 정답 확인

${((x-1)-1)}^{2}={(x-1)}^{2}-2(x-1)+1$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류