테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 22번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\sin x$ 를 x 로 근사, $a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\sin x$ approximated by x, $a=0$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 y=0.2 인 수평선이 있다. 또한 원점에서 시작하여 아래로 볼록한 곡선이 있다. 곡선과 직선은 순서쌍 (0.5966, 0.2) 에서 만난다.

$\sin x$ 는 작은 x 에서 증가하고 $\mathrm{si}{n}^{''}x=-\sin x$ 이므로, ${R}^{2}\sin (R)\le 0.2$ 일 때마다 이 추정식이 적용되며, 이는 $R=0.596$ 까지 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has a horizontal line at y=0.2. It also has a curve starting at the origin and concave up. The curve and the line intersect at the ordered pair (0.5966, 0.2).

Since $\sin x$ is increasing for small x and since $\mathrm{si}{n}^{''}x=-\sin x,$ the estimate applies whenever ${R}^{2}\sin (R)\le 0.2,$ which applies up to $R=0.596.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-x}$ , 구간 $[-3,3],a=0$

다 풀었으면 정답 확인

${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ 이므로 $M={e}^{3}$ 이다. $|x-0|\le 3$ 이므로 $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=14$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{14}\le 0.000220$ 이다.

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