테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 56번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 사용해 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the fact that if $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges in an interval containing $c,$ then $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ to evaluate each limit using Taylor series.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}$

정답·풀이 보기

$\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}\to -1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}\to -1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번우리말 번역

근사식 ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ 에 −x² 을 대입한 식을 적분하여 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

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${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ 이고, 반면 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682$ 이다.

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# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류