테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 56번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\ln (1+{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

$\ln (1+{x}^{2})$

정답·풀이 보기

$\ln (1+{x}^{2})=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{x}^{2n}$ 이므로 비판정법에 의해 $R=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\ln (1+{x}^{2})=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{x}^{2n}$ so $R=1$ by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\int }_{0}^{x}\cos \left(\sqrt{t}\right)dt;\,f(t)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{n}}{(2n)!}$

다 풀었으면 정답 확인

$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{n+1}}{(n+1)(2n)!}$