빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 급수의 활용

테일러 급수로 극한·적분·근삿값을 계산하고 미분방정식을 푼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

79문제 · 1 / 4쪽

1.OpenStax 2권 · 6.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절한 치환을 이용하여 주어진 이항식의 매클로린 급수를 구하세요.

(1−x)1/3{(1-x)}^{1/3}

영어 원문 보기

In the following exercises, use appropriate substitutions to write down the Maclaurin series for the given binomial.

(1−x)1/3{(1-x)}^{1/3}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 46번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 2권 · 6.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절한 치환을 이용하여 주어진 이항식의 매클로린 급수를 구하세요.

(1+x2)−1/3{(1+{x}^{2})}^{-1/3}

영어 원문 보기

In the following exercises, use appropriate substitutions to write down the Maclaurin series for the given binomial.

(1+x2)−1/3{(1+{x}^{2})}^{-1/3}

정답·풀이 보기

(1+x2)−1/3=∑n=0∞(−13n)x2n{(1+{x}^{2})}^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{2n}

원본 교재 풀이(영어)

(1+x2)−1/3=∑n=0∞(−13n)x2n{(1+{x}^{2})}^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{2n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 4번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 2권 · 6.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절한 치환을 이용하여 주어진 이항식의 매클로린 급수를 구하세요.

(1−x)1.01{(1-x)}^{1.01}

영어 원문 보기

In the following exercises, use appropriate substitutions to write down the Maclaurin series for the given binomial.

(1−x)1.01{(1-x)}^{1.01}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 52번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 2권 · 6.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 치환을 이용하여 주어진 이항식의 매클로린 급수를 쓰세요.

(1−2x)2/3{(1-2x)}^{2/3}

영어 원문 보기

In the following exercises, use appropriate substitutions to write down the Maclaurin series for the given binomial.

(1−2x)2/3{(1-2x)}^{2/3}

정답·풀이 보기

(1−2x)2/3=∑n=0∞(−1)n2n(23n)xn{(1-2x)}^{2/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{2}^{n}\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}

원본 교재 풀이(영어)

(1−2x)2/3=∑n=0∞(−1)n2n(23n)xn{(1-2x)}^{2/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{2}^{n}\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 6번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 2권 · 6.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 이용하여, 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

x+2\sqrt{x+2} (a=0a=0 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

x+2\sqrt{x+2} at a=0a=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 66번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 2권 · 6.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 이용하여, 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

x2+2\sqrt{{x}^{2}+2} (a=0a=0 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

x2+2\sqrt{{x}^{2}+2} at a=0a=0

정답·풀이 보기

2+x2=∑n=0∞2(1/2)−n(12n)x2n;(∣x2∣<2)\sqrt{2+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{(1/2)-n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){x}^{2n};(|{x}^{2}|<2)

원본 교재 풀이(영어)

2+x2=∑n=0∞2(1/2)−n(12n)x2n;(∣x2∣<2)\sqrt{2+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{(1/2)-n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){x}^{2n};(|{x}^{2}|<2)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 8번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 2권 · 6.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 이용하여, 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

x+2\sqrt{x+2} (a=1a=1 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

x+2\sqrt{x+2} at a=1a=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 2권 · 6.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 이용하여, 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

2x−x2\sqrt{2x-{x}^{2}} (a=1a=1 에서) (힌트: 2x−x2=1−(x−1)2)2x-{x}^{2}=1-{(x-1)}^{2})

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

2x−x2\sqrt{2x-{x}^{2}} at a=1a=1 (Hint: 2x−x2=1−(x−1)2)2x-{x}^{2}=1-{(x-1)}^{2})

정답·풀이 보기

2x−x2=1−(x−1)2\sqrt{2x-{x}^{2}}=\sqrt{1-{(x-1)}^{2}} so 2x−x2=∑n=0∞(−1)n(12n)(x−1)2n\sqrt{2x-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){(x-1)}^{2n}

원본 교재 풀이(영어)

2x−x2=1−(x−1)2\sqrt{2x-{x}^{2}}=\sqrt{1-{(x-1)}^{2}} so 2x−x2=∑n=0∞(−1)n(12n)(x−1)2n\sqrt{2x-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){(x-1)}^{2n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 12번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 2권 · 6.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 사용하여 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

(x−8)1/3{(x-8)}^{1/3} 의 a=9a=9 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

(x−8)1/3{(x-8)}^{1/3} at a=9a=9

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 12번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 2권 · 6.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 사용하여 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

x\sqrt{x} 의 a=4a=4 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

x\sqrt{x} at a=4a=4

정답·풀이 보기

x=21+x−44\sqrt{x}=2\sqrt{1+\frac{x-4}{4}} so x=∑n=0∞21−2n(12n)(x−4)n\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{1-2n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){(x-4)}^{n}

원본 교재 풀이(영어)

x=21+x−44\sqrt{x}=2\sqrt{1+\frac{x-4}{4}} so x=∑n=0∞21−2n(12n)(x−4)n\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{1-2n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){(x-4)}^{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 26번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 2권 · 6.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 사용하여 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

x1/3{x}^{1/3} 의 a=27a=27 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

x1/3{x}^{1/3} at a=27a=27

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 12번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 2권 · 6.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 이항 전개에 치환 (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} 을 사용하여 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

x\sqrt{x} 의 α=9\alpha =9 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r{(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r} in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

x\sqrt{x} at α=9\alpha =9

정답·풀이 보기

x=∑n=0∞31−2n(12n)(x−9)n\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty }{3}^{1-2n}\left(\frac{1}{2}n\right){(x-9)}^{n}

원본 교재 풀이(영어)

x=∑n=0∞31−2n(12n)(x−9)n\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty }{3}^{1-2n}\left(\frac{1}{2}n\right){(x-9)}^{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 10번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 2권 · 6.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 이항정리를 사용하여 오차가 1/10001/1000 이하인 어림값을 얻을 수 있도록 충분한 항을 계산해 각 수를 어림하세요.

[계산기 사용] (16−x)1/4{(16-x)}^{1/4} 을 이용하여 (15)1/4{(15)}^{1/4}

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial theorem to estimate each number, computing enough terms to obtain an estimate accurate to an error of at most 1/1000.1/1000.

[T] (15)1/4{(15)}^{1/4} using (16−x)1/4{(16-x)}^{1/4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 2권 · 6.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 정리를 사용하여 각 수를 어림하세요. 오차가 1/10001/1000 이하인 어림값을 얻을 수 있도록 충분한 항까지 계산하세요.

[계산기 사용] (1000+x)1/3{(1000+x)}^{1/3} 을 이용하여 (1001)1/3{(1001)}^{1/3}

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial theorem to estimate each number, computing enough terms to obtain an estimate accurate to an error of at most 1/1000.1/1000.

[T] (1001)1/3{(1001)}^{1/3} using (1000+x)1/3{(1000+x)}^{1/3}

정답·풀이 보기

10(1+x1000)1/3=∑n=0∞101−3n(13n)xn10{\left(1+\frac{x}{1000}\right)}^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{10}^{1-3n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}. 예를 들어 x=1x=1 에서 4차 어림을 사용하면 (1001)1/3≈10(1+(131)10−3+(132)10−6+(133)10−9+(134)10−12)=10(1+13.103−19.106+581.109−10243.1012)=10.00333222...\begin{array}{cc}{(1001)}^{1/3} & \approx 10\left(1+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right){10}^{-3}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 2\end{array}\right){10}^{-6}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 3\end{array}\right){10}^{-9}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 4\end{array}\right){10}^{-12}\right) \\ & =10\left(1+\frac{1}{{3.10}^{3}}-\frac{1}{{9.10}^{6}}+\frac{5}{{81.10}^{9}}-\frac{10}{{243.10}^{12}}\right)=10.00333222...\end{array} 이고, 실제로는 (1001)1/3=10.00332222839093{(1001)}^{1/3}=10.00332222839093 이다. 항 두 개만으로도 소수 셋째 자리까지의 정확도에는 충분하다.

원본 교재 풀이(영어)

10(1+x1000)1/3=∑n=0∞101−3n(13n)xn.10{\left(1+\frac{x}{1000}\right)}^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty }{10}^{1-3n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ n\end{array}\right){x}^{n}. Using, for example, a fourth-degree estimate at x=1x=1 gives (1001)1/3≈10(1+(131)10−3+(132)10−6+(133)10−9+(134)10−12)=10(1+13.103−19.106+581.109−10243.1012)=10.00333222...\begin{array}{cc}{(1001)}^{1/3} & \approx 10\left(1+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 1\end{array}\right){10}^{-3}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 2\end{array}\right){10}^{-6}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 3\end{array}\right){10}^{-9}+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \\ 4\end{array}\right){10}^{-12}\right) \\ & =10\left(1+\frac{1}{{3.10}^{3}}-\frac{1}{{9.10}^{6}}+\frac{5}{{81.10}^{9}}-\frac{10}{{243.10}^{12}}\right)=10.00333222...\end{array} whereas (1001)1/3=10.00332222839093....{(1001)}^{1/3}=10.00332222839093.... Two terms would suffice for three-digit accuracy.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 22번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 2권 · 6.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 ∣x∣<1|x|<1 일 때 성립하는 이항 근사 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} 을 사용하여 각 수를 근삿값으로 구하세요. 이 값을 공학용 계산기로 구한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2} 에서 x=12x=\frac{1}{2} 을 이용하여 12\frac{1}{\sqrt{2}}

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial approximation 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} for ∣x∣<1|x|<1 to approximate each number. Compare this value to the value given by a scientific calculator.

[T] 12\frac{1}{\sqrt{2}} using x=12x=\frac{1}{2} in (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 32번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 2권 · 6.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 ∣x∣<1|x|<1 일 때의 이항식 근사 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} 을 이용하여 각 수를 어림하세요. 이 값을 공학용 계산기로 구한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] 5=5 × 15\sqrt{5}=5\,\times \,\frac{1}{\sqrt{5}} 이고, (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2} 에서 x=45x=\frac{4}{5} 를 이용하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial approximation 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} for ∣x∣<1|x|<1 to approximate each number. Compare this value to the value given by a scientific calculator.

[T] 5=5 × 15\sqrt{5}=5\,\times \,\frac{1}{\sqrt{5}} using x=45x=\frac{4}{5} in (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2}

정답·풀이 보기

근삿값은 2.31522.3152 이고, 컴퓨터 대수 시스템으로 구한 값은 2.23…2.23\ldots 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The approximation is 2.3152;2.3152; the CAS value is 2.23….2.23\ldots .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 24번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 2권 · 6.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 ∣x∣<1|x|<1 일 때 성립하는 이항 근사 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} 을 사용하여 각 수를 근삿값으로 구하세요. 이 값을 공학용 계산기로 구한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2} 에서 x=23x=\frac{2}{3} 를 이용하여 3=33\sqrt{3}=\frac{3}{\sqrt{3}}

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial approximation 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} for ∣x∣<1|x|<1 to approximate each number. Compare this value to the value given by a scientific calculator.

[T] 3=33\sqrt{3}=\frac{3}{\sqrt{3}} using x=23x=\frac{2}{3} in (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 58번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
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18.OpenStax 2권 · 6.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, ∣x∣<1|x|<1 일 때의 이항 근사 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} 을 이용하여 각 수를 어림하세요. 이 값을 공학용 계산기로 구한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2} 에서 x=56x=\frac{5}{6} 를 이용하여 6\sqrt{6}

영어 원문 보기

In the following exercises, use the binomial approximation 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}-\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{x}^{3}}{16}-\frac{5{x}^{4}}{128}-\frac{7{x}^{5}}{256} for ∣x∣<1|x|<1 to approximate each number. Compare this value to the value given by a scientific calculator.

[T] 6\sqrt{6} using x=56x=\frac{5}{6} in (1−x)1/2{(1-x)}^{1/2}

정답·풀이 보기

근삿값은 2.583…;2.583\ldots ; CAS 값은 2.449…2.449\ldots 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The approximation is 2.583…;2.583\ldots ; the CAS value is 2.449….2.449\ldots .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 30번
# 테일러 급수의 활용계산자동 분류
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19.OpenStax 2권 · 6.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

1−x\sqrt{1-x} 의 이항 근사를 적분하여 ∫0x1−tdt{\int }_{0}^{x}\sqrt{1-t}dt 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Integrate the binomial approximation of 1−x\sqrt{1-x} to find an approximation of ∫0x1−tdt.{\int }_{0}^{x}\sqrt{1-t}dt.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 50번
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20.OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} 의 그래프는 반지름이 11 인 위쪽 반원임을 떠올리세요. 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} 의 88 차까지의 이항 근사를 x=−1x=-1 에서 x=1x=1 까지 적분하여 π2\frac{\pi }{2} 를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that the graph of 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} is an upper semicircle of radius 1.1. Integrate the binomial approximation of 1−x2\sqrt{1-{x}^{2}} up to order 88 from x=−1x=-1 to x=1x=1 to estimate π2.\frac{\pi }{2}.

정답·풀이 보기

1−x2=1−x22−x48−x616−5x8128+⋯\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots . 따라서

∫−111−x2dx=x−x36−x540−x77⋅16−5x99⋅128+⋯∣−11≈2−13−120−156−109⋅128+오차=1.590{\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx=x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{{x}^{5}}{40}-\frac{{x}^{7}}{7\cdot 16}-\frac{5{x}^{9}}{9\cdot 128}+\cdots {|}_{-1}^{1}\approx 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{20}-\frac{1}{56}-\frac{10}{9\cdot 128}+\text{오차}=1.590 이고, 한편 π2=1.570\frac{\pi }{2}=1.570 이다.

원본 교재 풀이(영어)

1−x2=1−x22−x48−x616−5x8128+⋯ .\sqrt{1-{x}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{4}}{8}-\frac{{x}^{6}}{16}-\frac{5{x}^{8}}{128}+\cdots . Thus

∫−111−x2dx=x−x36−x540−x77⋅16−5x99⋅128+⋯∣−11≈2−13−120−156−109⋅128+error=1.590...{\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx=x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{{x}^{5}}{40}-\frac{{x}^{7}}{7\cdot 16}-\frac{5{x}^{9}}{9\cdot 128}+\cdots {|}_{-1}^{1}\approx 2-\frac{1}{3}-\frac{1}{20}-\frac{1}{56}-\frac{10}{9\cdot 128}+\text{error}=1.590... whereas π2=1.570...\frac{\pi }{2}=1.570...

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 72번
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