테일러 급수의 활용 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.4절 · 6번

OpenStax 2권 · 6.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 전개에 치환 ${(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r}$ 을 이용하여, 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

$\sqrt{{x}^{2}+2}$ ( $a=0$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, use the substitution ${(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r}$ in the binomial expansion to find the Taylor series of each function with the given center.

$\sqrt{{x}^{2}+2}$ at $a=0$

정답·풀이 보기

$\sqrt{2+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{(1/2)-n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){x}^{2n};(|{x}^{2}|<2)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{2+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{2}^{(1/2)-n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){x}^{2n};(|{x}^{2}|<2)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.4절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 이항 전개에 치환 ${(b+x)}^{r}={(b+a)}^{r}{\left(1+\frac{x-a}{b+a}\right)}^{r}$ 을 이용하여, 주어진 중심에 대한 각 함수의 테일러 급수를 구하세요.

$\sqrt{2x-{x}^{2}}$ ( $a=1$ 에서) (힌트: $2x-{x}^{2}=1-{(x-1)}^{2})$

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{2x-{x}^{2}}=\sqrt{1-{(x-1)}^{2}}$ so $\sqrt{2x-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right){(x-1)}^{2n}$

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