매개변수 곡선의 미적분 연습문제 — OpenStax 2권 · 7.2절 · 24번

OpenStax 2권 · 7.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x=2+\sec \,\theta ,y=1+2\,\tan \,\theta$ 인 곡선의 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 에서의 기울기와 볼록성을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the slope and concavity for the curve whose equation is $x=2+\sec \,\theta ,y=1+2\,\tan \,\theta$ at $\theta =\frac{\pi }{6}.$

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=4,\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}=-6\sqrt{3}$ ; 곡선은 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 에서 위로 볼록이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=4,\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}=-6\sqrt{3};$ the curve is concave down at $\theta =\frac{\pi }{6}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 7.2절 · 40번우리말 번역

곡선 $x=\cos \,t,y={e}^{t},0\le t\le \frac{\pi }{2}$ 와 직선 $y=1$ , $x=0$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

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$\frac{{e}^{\frac{\pi }{2}}-1}{2}$