이차곡선

요하네스 케플러는 태양계 행성들이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 가진다는 것을 발견했다. 지구의 타원 궤도는 거리의 표준 단위로 쓰인다. 지구의 타원 궤도의 중심에서 한 꼭짓점까지의 거리가 1 천문단위, 즉 1 A.U. 이다.

다음 표는 세 행성의 궤도에 관한 정보를 나타낸 것이다.

$$\begin{array}{ccc} & \text{중심에서 꼭짓점까지의 거리} & \text{이심률} \\ \hline \text{수성} & \text{0.387 A.U.} & \text{0.2056} \\ \text{지구} & \text{1 A.U.} & \text{0.0167} \\ \text{화성} & \text{1.524 A.U.} & \text{0.0934}\end{array}$$

(a) 타원에서 $c^2=a^2-b^2$ 이고 $e=c/a$ 임을 알면 $b$ 를 $a$ 와 $e$ 로 나타낼 수 있다. $b=a\sqrt{1-e^2}$ 임을 보이세요. (b) 각 행성에 대해 타원 궤도의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 꼴로 구하세요. (이 꼴은 중심을 $(0,0)$ 에 놓은 것이지만, 태양의 위치는 행성마다 다르다.) (c) 태양이 원점에 오도록 방정식을 평행이동하세요. 세 타원 궤도의 그래프를 그리세요.