벡터의 연산 연습문제 — OpenStax 3권 · 2장 복습 · 19번

OpenStax 3권 · 2장 복습 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식을 원기둥좌표와 구면좌표로 나타내세요.

$z={x}^{2}+{y}^{2}-1$

영어 원문 보기

For the following exercises, write the given equation in cylindrical coordinates and spherical coordinates.

$z={x}^{2}+{y}^{2}-1$

정답·풀이 보기

원기둥좌표: $z={r}^{2}-1$ , 구면좌표: $\cos \,\varphi =\rho \,{\sin }^{2}\varphi -\frac{1}{\rho }$

원본 교재 풀이(영어)

Cylindrical: $z={r}^{2}-1,$ spherical: $\cos \,\varphi =\rho \,{\sin }^{2}\varphi -\frac{1}{\rho }$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 12번우리말 번역

다음 명제를 생각하세요. "벡터 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ 는 어떤 실수 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 대해 $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ 의 꼴이다." 이 명제가 참이면 증명하세요. 거짓이면 반례를 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 명제는 참이다. $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 평행한 경우에는 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{0}=0\mathbf{b}+0\mathbf{c}$ 이다. 따라서 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 평행하지 않다고 가정해도 된다. 그러면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 $\mathbb{R}$ 전체를 움직일 때, 벡터 $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ 는 원점과 벡터 $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 를 포함하는 평면 위를 움직인다. 이 평면을 $P$ 라 하자. $\mathbf{d}=\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 는 영벡터가 아니고 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 모두에 수직이므로, $P$ 는 원점을 포함하고 $\mathbf{d}$ 에 수직인 평면이다. $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{d}$ 는 언제나 $\mathbf{d}$ 에 수직이므로 $P$ 위에 놓인다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터의 연산계산자동 분류