벡터의 연산

시각 $t$ 에서 스키 선수의 위치를 $\big(x(t),y(t)\big)$ 로 나타내자. 스키 선수가 언덕 표면 위에 있는 동안

$$\begin{aligned} y(t)&=h\big(x(t)\big) \\ \implies y'(t)&=h'\big(x(t)\big)\,x'(t) \\ \implies y''(t)&=h''\big(x(t)\big)\, x'(t)^2+h'\big(x(t)\big)\,x''(t) \end{aligned}$$

따라서 스키 선수의 속도 벡터와 가속도 벡터는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x'(t) \\ \mathbf{a}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x''(t) +\left< 0,h''\big(x(t)\big)\right> x'(t)^2 \end{aligned}$$

스키 선수에게는 두 힘이 작용한다. 하나는 중력이다. 다른 하나는 언덕에 수직으로 작용하며, 스키 선수가 언덕 표면 위에 머물도록 하는 크기를 가진다. 스키 선수가 언덕 표면 위에 있는 동안에는 속도 벡터가 언덕에 접하므로, 이 속도 벡터로부터 $\big(x(t),y(t)\big)$ 에서 언덕에 수직인 벡터 하나가 $$\mathbf{n}(t)=\left<-h'\big(x(t)\big),1\right>$$ 임을 알 수 있다. 이 벡터는 단위벡터가 아니지만 상관없다. 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$$m\mathbf{a}=-mg\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+p(t)\,\mathbf{n}(t)$$

이다. 여기서 $p(t)$ 는 어떤 함수이다. 이 등식의 양변에 $\mathbf{n}(t)$ 를 내적한다.

$$m\mathbf{a}(t)\cdot\mathbf{n}(t)=-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\mathbf{n}(t)+p(t)|\mathbf{n}(t)|^2$$

대입하면

$$\begin{aligned} mh''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2&=-mg+p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] \\ \implies p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] &=m\Big(g+h''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2\Big) \end{aligned}$$

이다. $p(t)\ge 0$ 인 동안에는 언덕이 스키 선수를 표면 위에 머물게 하려고 위로 밀고 있다. $p(t)$ 가 음수가 되면 언덕이 스키 선수를 표면에 붙잡아 두기 위해 잡아당겨야 한다. 그러나 언덕은 잡아당길 수 없으므로 스키 선수는 대신 공중으로 떠오른다. 이는

$$g+h''\big(x(t)\big)x'(t)^2=0$$

일 때 일어난다. 즉 $x'(t)=\sqrt{-g/h''\big(x(t)\big)}$ 일 때이다. 이때 $x(t)=x_0$, $y(t)=y_0$ 이고 스키 선수의 속력은

$$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} =\sqrt{1+h'\big(x_0\big)^2}\sqrt{-g/h''\big(x_0\big)}$$

이다.